ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ecuaciones enteras de primer grado

Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones enteras de primer grado:

1)      6(2x – 5) + 2 = 20

2)      5(3x – 1) + 3 = 13

3)      9(7x – 2) – 10 = 36

4)      12 + 3(2x – 5) = 9

5)      25 – 5(4 + 3x) = 15

6)      2 = 7(5x – 9) – 5

7)      4(7x – 12) = 8

8)      (10x – 1)·5 = 30

9)      3x(x – 2) = 3x² – 12

10)   7x(2x – 5) = 14x² – 105

11)  2x(8 – 6x) = 80 – 12x²

12)  5(x + 3) + 2(x – 9) = 4

13)   8(x – 1) + 3(x + 4) = 48

14)   4(3x – 5) – 7(4x + 9) = 13

15)   13(x + 4) = 40 – 2(x – 7)

16)   6(x + 1) – 9(x – 5) = 3(4x + 2)

17)   3(4x – 3) – 4(3x + 8) = 7(x – 6)

18)   5(7x – 8) = 3(x + 8) – 4(6x – 7)

19)  (x + 2)(x – 5) = (x – 8)(x + 3)

20)  (x – 9)(x + 4) = (x – 6)(x – 1)

21)   (8x + 2)(x – 5) = (4x – 3)(2x + 3)

22)   (x + 2)(x + 1) = (x – 2)(x – 1)

23)   (6x + 3)(3x – 5) = (9x – 4)(2x – 7) + 7

24)   4(x – 1)(x + 3) = (x – 7)(4x + 2)

25)   6(x + 2)(2x – 3) = 4(3x – 1)(x + 1)

26)   (4x – 3)(4x + 3) + 2x(3 – 8x) = 7x – 2

27)   12x(2 – 3x) – (5 + 6x) = 11 + 12x

28)   33x + (8x + 3)(8x – 3) = 16x(2 + 4x) + 8

29)   (12x + 7)(12x – 7) = (12x – 9)² + 86

30)   (20x + 15)(15 – 20x) = 25 – (20x – 10)²

31)   (8 + 6x)² + (8x + 6)² = (10x + 10)² + 8

32)   (9x – 3)² + (12x – 4)² = (15x – 10)²

33)   [3 + (x + 2)]² = x² + 5

34)   [(x – 1) – (x + 1)]² = x – 3

35)   (x – 5)³ + 1 = (x + 4)(x – 4)(x – 15)

36)   (x – 1)³ = (x + 2)³ – 9(x² – 1)

Malditos signos

Importancia de las matemáticas

¿Y A MI PARA QUE ME VAN A SERVIR LAS MATEMATICAS EN MI VIDA?

Introducción

En el día con día tenemos una preocupación como docentes en el aspecto de por qué a los alumnos no logran adquirir un gusto por las matemáticas, por más que buscamos métodos, formas de enseñar los conceptos matemáticos, los alumnos se rehúsan a razonar o a aprender matemáticas, y no se diga el ver que son una herramienta tan indispensable en la vida diaria para generar una calidad de vida mejor, ¿y a mí para que me van a servir las matemáticas en mi vida?

Ellos bulscan por todas las formas posibles e evitarlas  por todos los medios posibles argumentando que los que pretenden continuar preparándose en lo académico al concluir su preparación secundaria e incorporarse al siguiente nivel educativo (medio superior) para así iniciar un plan de vida personal

Aunado a esto la preocupación como docente que se nos presenta por las evaluaciones que  en puerta (evaluación universal, PISA, o evaluaciones para medir los estándares de educación a nivel estado o nacional).

Las matemáticas  y el lenguaje son dos de las cosas más importantes en el desarrollo de todo ser humano y se consideran como dos de las herramientas que más apoyan para aprender a aprender y aprender a pensar. Además brinda a los estudiantes competencias básicas para que este logre incorporarse en el ámbito laboral para que a su vez tenga una mejor calidad de vida.

A demás de que la matemática ayudan a que el cerebro este ejercitado, esto ayuda a que cundo se presenta una problemática en la vida diaria o laboral estas ayudan a encontrar una solución al problema mucho más sencillo y optimiza tiempos en la solución, obteniendo una solución eficiente al mismo.

 

 

Escuela o empírico.

¿Por qué la importancia de aprender matemáticas de forma guiada o mediante aprendizajes empíricos?

 El ser humano por naturaleza es matemático, la necesidad de resolver problemas que se presentan en la vida el día con día nos ha hecho aplicar matemática, estas aplicaciones tal vez no tengan una base científica o una metodología, sin embargo hacen que la problemática presentada sea resuelta.

A diferencia de una persona que tiene el apoyo de una persona (profesor) que tiene el conocimiento matemático, esta persona puede hacer uso de los algoritmos que se enseñan en la escuela que permiten resolver una gran variedad de problemas de una manera más económica, más rápida, y permiten también gracias al lenguaje con el que se expresan, comunicar con precisión los procedimientos que se emplean.

La transmisión del conocimiento

Sabiendo que la matemática es un “objeto de enseñanza”, este es capaz de transmitirse. Nosotros como docentes podemos transmitirlo a quien carece de él, sin riesgo de que el conocimiento se altere en el proceso de transmisión.

La tarea de nosotros como profesores consiste en inyectar el conocimiento en la mente del estudiante mediante palabras adecuadas y con la ayuda de herramientas adecuadas. El alumno por su parte no puede modificar la estructura de lo aprendido, su tarea consiste en razonarlo y decodificarlo.

El profesor debe de tener la capacidad de combinar el contenido para así reforzar lo aprendido, con la finalidad de pasar siempre de lo simple a lo complejo, de lo particular a lo general, de los concreto a lo abstracto, del análisis a la síntesis, buscando generar en el siempre a un  critico

El roll del profesor en el aula siempre debe de brindar un apoyo y la confianza al alumno para que así se le sea agradable y menos tedioso el aprendizaje de las matemáticas para que este se dé cuenta de que en algún momento de su vida le va a ser útil en su ámbito profesional o cotidiano.

Existen características para el razonamiento matemático.

1. Estudia un problema y decide que tipo de respuesta se requiere.

2. Usa su flexibilidad mental al trabajar con diferentes clases de números.

3. Selecciona las estrategias apropiadas.

4. Reconoce que existen varias soluciones y no tiene temor de abandonar una estrategia en favor de otra.

5. Revisa los resultados son razonables.

El resolver problemas y el razonamiento matemático son inseparables. Así que siempre hay que tomar en cuenta estas características que se mencionan.

 

Conclusión

Las matemáticas siempre son y serán necesarias en la vida de cualquier individuo, el chiste es siempre tratar de ser y de razonarlas buscando una aplicación lógica y en el ámbito cotidiano.

Es muy complicado que una persona adquiera los mismos conocimientos de manera empírica a lo largo de su vida con respecto a una persona que ha adquirido el conocimiento en el aula con el apoyo de un profesor, este en un periodo de tiempo más corto adquiere lo que a la persona que aprendió empíricamente le llevaría probablemente una vida.

Lo más importante para  tomar en cuenta es que a los alumnos en un momento dado les tiene que caer el veinte  que no es posible librarse de las matemáticas, por mas que quieran buscar una profesión, una carrera técnica o un oficio siempre tendrán presentes las matemáticas en mayor o menor grado de dificultad siempre estarán presentes.

Muchos de los jóvenes buscan hacer su plan de vida tratando de excluir la matemática en su formación profesional y algunos hasta son capaces de estudiar una carrera que no es de su agrado con el fin de que no se encuentren durante su periodo de formación profesional con esta tan odiada ciencia.

La historia nos ha demostrado que las matemáticas han sido necesarias para facilitarnos la existencia en todos los ámbitos en nuestra vida, desde los social, lo laboral, lo familiar y hasta lo deportivo. En lo laboral para poder saber lo que uno como trabajador saber qué y cuanto percibe económicamente, en cualquier oficio por más sencillo que parezca se encuentran presentes al realizar un presupuesto,  por ejemplo un carpintero al diseñar un librero necesitara saber cuánta madera necesita, el número de niveles o compartimientos, el número de clavos, un herrero al diseñar una puerta o una ventana, este trabaja mucho con los ángulos, dimensiones y hasta conversiones de medida de pulgadas a centímetros. En lo social se presenta la matemática en las estadísticas que presenta en algún momento el INEGI en los censos de población y vivienda, en lo familiar se presenta siempre con más frecuencia para poder administrar los dineros y las percepciones que uno tiene, en lo económico así como adeudos tanto con el banco como con algún prestamista. En lo deportivo siempre y cuando se presente una tabla de comparación o una estadística de las habilidades que tiene cierto jugador tan bueno o tan malo, en las casas de apuestas la probabilidad que se presentan en ciertas competiciones.

Ahora bien con lo dicho anteriormente de  la gran importancia que abarca las matemáticas en el mundo, vemos la necesidad de la práctica continua de ella, para descubrir nuevas potencialidades que le sirvan de desarrollo no solo a nuestro país, sino al mundo entero.

Debemos llevar presentes que las matemáticas no son obstáculo para el rendimiento académico de los alumnos, sino la posibilidad de ser lógicos y coherentes  con los problemas que se nos presenten en  diversos ámbitos científicos y de nuestra vida diaria.

Muchas veces el alumno confunde el “no me gustan” o “no le entiendo a las matemáticas” debido a la poca o nula preparación de la persona que está impartiendo el conocimiento, ya que no cuenta con las herramientas mínimas necesarias para poder darse a entender o transmitir el conocimiento (no sabe enseñar), aquí es de suma importancia que nosotros como profesores asumamos el compromiso personal y profesión de que en el mayor número posible generemos en nuestros estudiante el gusto o la pasión por esta tan odiada ciencia.

Esta ciencia también es una de las bases para que otras ciencias puedan hacer sus demostraciones y nuestra calidad de vida mejore, tecnológicamente, en la medicina, en la cocina, siempre la matemática debe ser encaminada para la búsqueda de la verdad.

MINIMO COMUN MULTIPLO (m. c. m)

Matemáticas: Minimo Común Múltiplo (M.C.M.)

El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. Ejemplo: Averiguar el m.c.m. de Sacar el M.C.D. de 20 y 10: 20: 20, 40, 60, 80... 10: 10, 20, 30... 20 es el múltiplo menor que es común a ambos números.  Multiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5..... Ejemplo: múltiplos del 7: 7x0=0; 7x1=7; 7x2=14; 7x3=21; 7x4=28; 7x5=35 .... O sea son múltiplos del 7:, 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 48, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168... Ejemplo: Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6. Se hace la descomposición de factores (que ya la explicamos en el máximo común divisor). Lo hacemos de la siguiente forma: 4= 2x2 5= 5 6= 2x3 Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2x2 x3 x5 = 60. El mcm de 4,5 y 6 es 60.

MAXIMO COMUN DIVISOR

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números. Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.) Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10: 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20 10: 1, 2, 5 y 10 Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores. Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.). Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60: 1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5. 40   2 60   2 20 2 30 2 10 2 15 3 5 5 5 5 1   1           2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D. MCD = 2x2x5= 20 M.C.D. 40 = 2x2x2x5 M.C.D. 60 = 2x2x3x5

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 4.
Un número es divisible por 5 cuando termian en 0 ó en 5.
Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.
Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7.
Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 8.
Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.
Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.
Un número es divisible por 13 cuando separando la primer cifra de la derecha, multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 13.
Un número es divisible por 17 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 5, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 17.
Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 19.
Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 25.
Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125.

 

TRANSFORMACIONES ISOMETRICAS

1- Transformaciones isométricas 

 

 Las transformaciones isométricas son cambios de posición (orientación) de una figura determinada que NO alteran la forma ni el tamaño de ésta.

  

     La palabra isometría tiene origen griego: iso, que significa igual, y metría, que significa medir. Por lo tanto, esta palabra puede ser traducida como igual medida. 

 

Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías), que serán vistas a continuación y que su estudio será pieza fundamental para la posterior comprensión de contenidos tales como las teselaciones o embaldosados.

 

 

1.1- Traslación

 

La traslación de una figura plana es una transformación isométrica que mueve todos los puntos de la figura en una misma dirección, sentido y longitud.  Para representar gráficamente el movimiento realizado en una traslación, se puede utilizar una flecha (como se muestra en el ejemplo siguiente), a esta flecha se le conoce como vector de traslación.

 

 

1.2- Reflexión

 

 Una reflexión o simetría es una transformación isométrica en la que a cada punto de la figura original se le asocia otro punto (llamado imagen), de modo que el punto y su imagen están a igual distancia de una recta llamada eje de simetría.

 

 

La reflexión puede ser de dos tipos:  

 

- Simetría axial: Cada punto de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión, se encuentran a igual distancia de una recta llamada eje de simetría.  

 

 

- Simetría central:  Cada punto de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión, se encuentran a igual distancia de un punto llamado punto de simetría.  

 

 

1.3- Rotación 

 

Una rotación es una transformación isométrica, en la cuál todos los puntos se mueven respecto

a un punto fijo llamado centro de rotación (O), en un determinado ángulo, llamado ángulo de

rotación. El centro de rotación puede estar en el interior, en el contorno o en el exterior de la figura. 

 

 

El sentido positivo de la rotación es el sentido antihorario, es decir, contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Mientras que el sentido negativo de la rotación es en el sentido horario. 

 

 

2-  Teselación

 

La teselación es una técnica que permite recubrir el plano con figuras geométricas planas, de tal manera que todos los espacios resulten cubiertos, sin dejar vacíos, ni tampoco figuras superpuestas.  

 

Una teselación es:

 

2.1- Regular: si está formada solo por polígonos regulares.Este tipo de teselaciones sólo es posible utilizandotriángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares. 

Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos interiores son estos.

 

 

2.2- Semirregular: si está formada por dos o más polígonos regulares.  Para que esto sea posible, los polígonos que se juntan en un vértice deben tener ángulos interiores que sumen exactamente 360º

 

 

2.3- No regular: si está formada por polígonos no regulares.